Khái quát

Công thức đơn giản để tính bình phương của một nhị thức trong toán học sơ cấp:

( x + p ) 2 = x 2 + 2 p x + p 2 . {\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.\,\!}

Ví dụ

( x + 3 ) 2 = x 2 + 6 x + 9 ( p = 3 ) ( x − 5 ) 2 = x 2 − 10 x + 25 ( p = − 5 ) . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}

Với chính phương, số p luôn bằng một nửa hệ số của x, và hằng số thì bằng p2.

Ví dụ cơ bản

Xem xét đa thức bậc hai dưới đây

x 2 + 10 x + 28. {\displaystyle x^{2}+10x+28.\,\!}

Phương trình bậc hai này không phải là chính phương, do 28 không phải là bình phương của 5:

( x + 5 ) 2 = x 2 + 10 x + 25. {\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.\,\!}

Tuy nhiên, vẫn có thể viết phương trình bậc hai gốc dưới dạng tổng của bình phương và một hằng số:

x 2 + 10 x + 28 = ( x + 5 ) 2 + 3. {\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}

Đây được gọi là "phần bù bình phương".

Mô tả chung

Với một đa thức lồi

x 2 + b x + c , {\displaystyle x^{2}+bx+c,\,\!}

Ta có thể tạo một bình phương với hai số hạng đầu tiên

( x + 1 2 b ) 2 = x 2 + b x + 1 4 b 2 . {\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}

Bình phương này chỉ khác với phương trình bậc hai gốc ở giá trị của hằng số. Do đó, ta có thể viết:

x 2 + b x + c = ( x + 1 2 b ) 2 + k , {\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}

Trong đó k là một hằng số. Phép tính này được gọi là "phần bù bình phương".Ví dụ:

x 2 + 6 x + 11 = ( x + 3 ) 2 + 2 x 2 + 14 x + 30 = ( x + 7 ) 2 − 19 x 2 − 2 x + 7 = ( x − 1 ) 2 + 6. {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}

Trường hợp không phải đa thức lồi

Với đa thức bậc hai theo dạng

a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}

Có thể phân tích nhân tử hệ số a, rồi thực hiện phần bù bình phương cho đa thức lồi

Ví dụ:

3 x 2 + 12 x + 27 = 3 ( x 2 + 4 x + 9 ) = 3 ( ( x + 2 ) 2 + 5 ) = 3 ( x + 2 ) 2 + 15 {\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}

Điều này cho phép viết đa thức bậc hai theo dạng

a ( x − h ) 2 + k . {\displaystyle a(x-h)^{2}+k.\,\!}

Công thức

Kết quả của phần bù bình phương có thể được viết dưới dạng một công thức. Với những trường hợp chung:[1]

a x 2 + b x + c = a ( x − h ) 2 + k , khi h = − b 2 a và k = c − b 2 4 a . {\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{khi}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{và}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}

Cụ thể hơn, khi a=1:

x 2 + b x + c = ( x − h ) 2 + k , khi h = − b 2 và k = c − b 2 4 . {\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{khi}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{và}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}

Trường hợp ma trận cũng tương tự:

x T A x + x T b + c = ( x − h ) T A ( x − h ) + k khi h = − 1 2 A − 1 b và k = c − 1 4 b T A − 1 b {\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{khi}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{và}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}